中国科学院大学
2020年-2021年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：801高等代数
1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
说明：本卷共九题，前七道题必答，第八题、第九题只准选其一答之。
一． (20 分) 若整系数多项式 f (x) 有根 p q ，这里 p, q 是互素的整数，证明1) (q - p) | f (1), (q + p) | f (-1) ；
2) 对任意整数m 有 (mq - p) | f (m) 。
二． (18 分) 以det(M ) 记矩阵M 的行列式，证明下列结论：
1) 设 A, B 都是n 阶实方阵，则
det æ A B ö = det( A + -1B) ×det( A - -1B)
ç -B A÷
2) 设 A 是m ´ n 矩阵， B 是n ´ m 矩阵， Ik 表示k 阶单位矩阵。则
l n ×det (lIm - AB) = l m ×det (lIn - BA) , ( l 是复数)。
三． (18 分) 已知n 阶方阵 A 满足 A2 = In ，问：秩( In + A) + 秩( In - A) = ? 并证明你的答案。
四． (18 分)设 A 是n 阶实对称正定矩阵， B 是n 阶实对称半正定矩阵，
1) 证明： det( A + B) ³ det( A) + det(B) ；
2) 
当n ³ 2 时，问：在什么条件下有det( A + B) > det( A) + det(B) ，并证明之。五． (18 分)设n 阶复方阵 A 的全部特征值为l1, l2 , , ln 。求 A 的伴随矩阵
A* 的全部特征值。
