中国科学院大学
2020年-2021年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：616数学分析
1. 本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
科目名称：数学分析
（本题满分15分）计算lim
XT。
、 2 1
2 （本题满分 15 分）设 xo = a,xi =尻 X"i = 3xn + 3xra_i （n > 1）. 证明：数列｛xn｝收敛，并求出极限值.
3 （本题满分15分）判断下列极限是否存在，并说明理由:
1 rsin x 1
lim— / sin —cos
XT0 x o x
4 （本题满分15分）设函数f （x）在区间［0,n］（n是一个正整数）上连 续，并且 f （0） = f （n）,证明：存在点 xo € ［°,n—1］使得 f （xo） = f （xo + 1）.
5 (本题满分15分，其中题⑴满分8分，题⑵满分7分)计算:
,. f1 xb — x" / 】 、 ..T f1 ln(1 + x) 7
(1) Ii = dx (a, b > 0). (2) I2 = 2-dx.
Jo ln x Jo 1 + x2
6 （本题满分15分）设切是Qxg平面内由曲线y = Vx和直线y = x 所围成的图形，求切绕直线y = x旋转产生的旋转体体积.
7 （本题满分15分）求函数f（x,y,z） = lnx + lny + 3lnz在球面 x2 + y2 + z2 = 5R2 （x, y,z> 0）上的最大值.
（本题满分15分）证明：
尸 /x2 — x + 1 ,
< \ — dx < n.
Jo V x — x2
（本题满分15分）讨论级数£ "（—D xn的敛散性.
n=1 n
